Podemos ver a qué clase pertenece, imprimiéndola, así:

alert(document); // [object HTMLDocument]

O:

alert(document.constructor.name); // HTMLDocument

Entonces, document es una instancia de la clase HTMLDocument.

¿Cuál es su lugar en la jerarquía?

Sí, podríamos examinar las especificaciones, pero sería más rápido averiguarlo manualmente.

Recorramos la cadena de prototype través de __proto__.

Como sabemos, los métodos de una clase están en el prototype del constructor. Por ejemplo, HTMLDocument.prototype tiene métodos para documentos.

Además, hay una referencia a la función constructor dentro de prototype:

alert(HTMLDocument.prototype.constructor === HTMLDocument); // true

Para obtener un nombre de la clase como string, podemos usar constructor.name. Hagámoslo para toda la cadena prototype de document, hasta la clase Node:

alert(HTMLDocument.prototype.constructor.name); // HTMLDocument
alert(HTMLDocument.prototype.__proto__.constructor.name); // Document
alert(HTMLDocument.prototype.__proto__.__proto__.constructor.name); // Node

Esa es la jerarquía.

También podríamos examinar el objeto usando console.dir(document) y ver estos nombres abriendo __proto__. La consola los toma del constructor internamente.